关键词: 模糊增强；广义模糊集；边界检测
本文在广义模糊集合与广义模糊算子的基础上，给出了一种基于增强图象区域之间对比度的边界检测算法，并利用升半梯形模糊分布将空间域的灰度图象变换为对应的广义隶属度函数。实验结果表明该算法对于灰度层次丰富的医学图象边界提取效果是较好的。
0 引 言
一般的医学图象归根到底是由医生来观看的，一个优良的医学图象处理系统应与人的视觉系统有良好匹配，而模糊集理论在分析诸如判断、感知及辨识等人类系统的各种行为时是一个有效的工具，因此它正被越来越广泛地引入到图象边界检测算法中。另外，众所周知，一幅单色图象中若所含灰度级的层次较少，则其边缘检测的效果将会比较理想，反之不然，基于上述两点，Pal等提出了一种医学图象边界检测模糊算法［1］，首先对图象在模糊空间中做增强处理，以增强边缘两侧象素灰度的对比度，减少图象的灰度层次，再来提取边界，该方法在X光图片的边界检测中取得较好的结果。但该算法采用幂函数形式的模糊隶属函数将空间域灰度图象变换为相应的模糊集，运算量大，而且会损失图象中部分低灰度值的边界信息，而我们研究发现采用不同的隶属函数对增强效果并没有很大影响，因此为了加快算法的速度，本文采用能快速实现的升半梯形模糊分布作为隶属函数，结合文献［2］中广义模糊集与广义模糊算子的概念，提出了一种基于模糊空间区域对比度增强的边界检测算法，从而大大提高了边界检测速度和质量。
1 模型与算法
文献［2］给出广义模糊集和广义模糊算子的定义。
定义1 论域U上广义模糊集合A表征为
A=｛(μA(x), x∈U)｝(1)
其中μA(x)∈［-1,1］称为U上A的广义隶属函数。显然，广义模糊集是对普通模糊集的扩充，即将普通模糊集的隶属函数μA(x)∈［0,1］扩展为广义模糊集的μA(x)∈［-1,1］。
定义2 一个广义模糊算子GFO，它作用于广义模糊集A上可产生一个普通模糊集A′，即A′=GFO(A)。对文献［2］中给出的GFO算子，取α=2,β=2,得：
(2)
考虑到GFO算子在r处的连续性，可得r≈0.2956。
GFO算子具有如下性质：
(1)
(2)
(3)
区域中μA(x)的值和降低
区域中μA(x)的值，起到了增强这两个区域之间对比度的作用。
依照广义模糊集的概念，一个M×N象素的L级灰度图象X可以看作是一个广义模糊集，表示为一个M×N的矩阵：
(3)
矩阵中每个元素
是该广义模糊集的一项，表示图象中象素(i,j)的灰度xij相对于最大灰度(L-1)的亮度程度。现在重要的问题是给定一幅图象X，如何确定xij相对于(L-1)的广义隶属度P=｛Pij｝呢?在数学上这是一个求xij相对于(L-1)的模糊分布问题，［1］中采用下式求解：
(4)
其中Fd、Fe可以通过渡越点确定。从实验结果可以看到，(4)式运算量大，而且会损失部分低灰度值图象信息，另外我们研究发现采用不同的隶属函数对增强效果并没有很大影响，为克服上述缺陷，我们提出采用一种升半梯形模糊分布来求Pij,即
其中D为可调参数，规定D的选择范围为
(6)
xmax和xmin分别为图象的最大和最小灰度级。显然在式(6)的制约下，式(5)中的Pij∈［-1,1］,故由式(5)所产生的集合P=｛Pij｝符合本文广义隶属度的定义。式(5)是一个简单的线性函数，与(4)式相比，运算速度将大大提高。
引入了上述定义，我们就可以给出边界检测算法如下：
(1)通过式(5)将待处理的图象X(M×N象素，L级灰度)从空间域的灰度值X=｛xij｝映射为与之对应的广义隶属度P=｛Pij｝。
(2)通过GFO算子将广义隶属度函数P变换为普通隶属度函数P′，实际上是一种模糊增强的过程。
(3)通过式(5)的反函数对普通隶属度函数P′进行逆变换，将P′映射为二维空间域的灰度图象，得到经过模糊增强后的图象X′，X′中的象素(i,j)的灰度x′ij为
x′ij=T-1(P′ij)=P′ij*(xmax-D)+D(7)
(4)采用文献［3］提出的“min”或“max”算子提取边缘，得到边缘图象XE。
2 实验结果与讨论
我们采用一幅灰度层次较多的256×256象素MRI心脏断层图片对本文算法进行了检验。图象经扫描仪以PCX格式读入计算机并处理。图1a是MRI原图，图1b为本文算法提取的边界图象，图1c给出了微分算子提取的边界图象以作对比，同时我们还与［1］中的方法进行了速度上的比较，本文算法处理需24s，［1］中方法需680s(486DX/33M)。以上结果说明该算法具有较高的边界提取精度和较快的速度。
图1 MRI心脏断层图片边界检测结果
通过上述实验，我们来进一步分析本文算法。与［1］中Pal的模糊检测方法相似，本文算法也是先将空间域灰度图象映射为一个广义隶属函数，然后在广义模糊集中进行模糊增强处理，最后再进行从普通隶属函数到空间域灰度图象的逆变换，从而得到原图象的对比度增强图，再提取边界。与Pal的方法不同在于该算法采用简单的升半梯形模糊分布求解广义隶属度P，速度快(比Pal的方法提高约30倍)，并且克服了Pal方法会损失图象中部分低灰度值边界信息的缺点。因此本文算法明显优于［1］中的方法。
再来看式(5)中的参数D，通常D的选择与图象X本身有关，由于图象千差万别，故不可能找到一个最好的D值以适合所有图象。对同一幅图象，随D值选择的不同，将映射为不同的广义隶属度P，因而会对不同的灰度区间做增强处理，并最终影响到图象边界检测结果，因此一个合适的D值要根据图象本身通过实验来确定。另外，对于处理灰度层次丰富，含有多个边缘，且各边缘象素点灰度值又不尽相同的图象时，可以利用不同的D值对不同的灰度区域做对比度增强，以提取该区域内的图象边界，再将不同D值的结果综合考虑，最终可以得到较好的效果。在今后的研究中，希望找到一个自适应地选择可调参数D的方法，以进一步提高边界检测的精度和速度。
3 结论
本文提出的基于区域模糊增强的边界检测算法较好地弥补了文献［1］的缺陷，检测速度快、精度高，尤其对于含有多灰度级边界的医学图象，它具有较好的检测效果。
参考文献：
1，S.K.Pal, R.A.King. On edge detection of X-ray images using fuzzy sets. IEEE Trans, Pattern analysis and machine intelligence, 1983,5(1):69～77
2，陈武凡，鲁贤庆等.彩色图象边缘检测的新算法广义模糊算子法.中国科学(A辑)，1995，25(2)：219～224
3，Y Nakagawa, A Rosenfeld. A note on the use of local min and max operations in digital picture processing. IEEE Trans, Syst, Man, Cybern, 1978,8(8):632～635.